Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

из жизни заставят вас вспомнить свои собственные. Вряд ли ваш внутренний мир во всём совпадает с моим. Надеюсь, что из своих воспоминаний вы сделаете иные выводы, нежели я. Но, если мы начнем понимать, насколько у всех разные модели мира, каждый из нас сможет усовершенствовать свою модель.

Геометрия в десятом классе была для меня чем-то удивительным. Все обрывки этой науки, которые я изучал на уроках математики прежде или читал в книгах, сложились в единое целое. Строгость и динамика доказательства теоремы – прекрасна, кристальна и чиста. (Да, признаю, что не все одноклассники считали доказательство теорем таким уж наслаждением; некоторым ребятам оно казалось ужасным занудством. Им я скажу: вы многое потеряли.) А потом возникли вопросы. Древние греки определяли число π как отношение длины окружности к ее диаметру. Но почему это отношение одинаково для всех окружностей? На данный вопрос есть ответ, и весьма элегантный, но для любопытного десятиклассника это была восхитительная загадка. Вечером, сидя за столом в своей комнате и делая домашние задания или читая, я иногда глядел в окно. Небо постепенно темнело, становясь из пурпурного темно-синим и черным, появлялись редкие звезды, и я думал о том, что, может, у некоторых из этих звезд есть планеты, где живут существа, способные созерцать мир. И если бы они представили свой мир в виде абстрактных геометрических форм, это была бы, как мне казалось, та же знакомая мне геометрия. Это ощущение универсальности было потрясающим.

Долгие раздумья, а также несколько весьма интересных бесед с моим учителем привели меня к одному выводу: в геометрии зашифрованы факты, касающиеся устройства пространства и времени. Эти идеи сочетались друг с другом настолько ясно, настолько безупречно. Когда у меня в голове полностью оформилось доказательство, когда я понял, что происходит на каждом его этапе и почему, я впервые почувствовал вкус утонченной радости, выходящей за пределы всякой обыденности.

Вдобавок у меня был учитель геометрии, мистер Гриффит. Еще молодой, но уже лысеющий и беззаветно влюбленный в геометрию. И этой любовью он заразил меня. Понимаете теперь, почему я заболел геометрией, когда мне было пятнадцать? И сейчас, в свои шестьдесят девять, я по-прежнему влюблен в нее, как тогда.

В те годы учителям платили немного: впрочем, с тех пор их положение не слишком изменилось к лучшему, и это возмутительно. Мистер Гриффит по вечерам работал на полставки оператором ЭВМ в Дорожной комиссии штата Западная Виргиния. Он пригласил меня в свой компьютерный центр, и однажды вечером дедушка отвез меня в офис Дорожной комиссии в Чарльстоне. Я запомнил огромный зал, заставленный компьютерами величиной с холодильную установку, бобины с магнитной лентой, мигающие лампочки пультов. Мистер Гриффит объяснил, что это за машины и что они делают. Он рассказал, какие задачи решает компьютер: он моделирует транспортный поток на платной магистрали Западной Виргинии. Это была математика в действии, решение реальной задачи в реальном времени. Я уже имел представление о такого рода работе. В конце концов, орбитальный полет астронавта Джона Гленна состоялся, когда я еще ходил в начальную школу. (В ту пору я не знал, что математик Кэтрин Джонсон, которая внесла большой вклад в расчеты НАСА для запуска и приземления ракеты, за много лет до меня ходила в школу за рекой Канова, напротив моего дома[107].) Зато теперь я смог пощупать всё наяву: увидеть эти машины, даже потрогать их. Математика стала для меня осязаемой вещью.

Где-то в конце весеннего семестра у нас с мистером Гриффитом состоялся разговор о том, какие эмоции вызывает изучение геометрии. К тому времени мы уже проходили более сложные приемы. Доказательства становились более длинными, более изощренными и – по всем параметрам, какие я только мог себе представить, – более красивыми. Но они уже не доставляли столько радости, как те, что мы изучали в начале осеннего семестра. Мы назвали несколько возможных причин такой перемены, включая то, что длинные доказательства гораздо труднее сразу уложить в голове. Но тут мистер Гриффит немного отклонился от темы и спросил, какое у меня любимое музыкальное произведение. Первое, что мне пришло на ум, был Бранденбургский концерт № 5 Баха. Сколько раз я его слушал? Десятки раз точно. Помню ли я, когда впервые его услышал? Да, конечно, это было в доме моего друга Гари Уинтера. Что я чувствовал, слушая звуки этой музыки? Я никогда не слышал ничего подобного, у меня по спине бежали мурашки, это было так прекрасно. Чувствую ли я то же самое, когда слушаю эту музыку сейчас? Не совсем: я улавливаю больше мелодических вариаций, но тот шок, который случился со мной в самый первый раз, больше не повторялся.

«То-то и оно, – сказал мистер Гриффит. – Первый раз, когда ты слышишь или видишь что-то прекрасное, поражает сильнее всего. Иногда кажется, что твое чувство к чему-то угасает после первого же раза. У тебя есть всего один шанс, чтобы увидеть доказательство теоремы Пифагора в первый раз».

Эта мысль преследовала меня годами и даже усилилась, когда я начал изучать логику, программирование, квантовую механику, общую теорию относительности, дифференциальную топологию, динамические системы и, совсем недавно, математическую биологию. И в каждой из дисциплин был свой «первый раз». Например, когда вы начинаете изучать нумерацию Гёделя, то присваиваете номера переменным и логическим операциям, а затем утверждениям[108]. Если делать всё аккуратно (а Гёдель был весьма аккуратен), у вас получаются утверждения, отсылающие к их собственным номерам. Так возникает рекурсия, с помощью которой Гёдель доказал свою теорему о неполноте. Сама гениальность идеи, удивление от того, что она работает, может вызвать лишь одну реакцию: «…дрожь бежит по спине, перехватывает горло, и появляется чувство, слабое, как смутное воспоминание, будто падаешь с высоты»[109]. Проверяя доказательство, всматриваясь в него снова и снова, вы можете обнаружить нюансы, которые не заметили в первый раз, но уже никогда не повторится то абсолютное ощущение трепета перед этой красотой.

Когда я вижу нечто прекрасное, мое первое ощущение всегда окрашено скорбью, поскольку я знаю, что никогда больше не испытаю к этому предмету столь же сильного чувства. Когда я вижу нечто красивенькое, у меня не спирает дыхание, как бывает при первом взгляде на красоту. Впоследствии, когда вы снова видите красивенькую вещь, вы испытываете практически те же приятные чувства. Но вы не ощущаете скорби, потому что ваше первое впечатление можно повторить.

Отчасти скорбь геометрии возникает именно отсюда: первый же взгляд на прекрасную геометрическую конструкцию выстраивает наши мысли таким образом, что вернуть их прежний порядок уже невозможно. Нельзя во второй раз