Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

Приведу другой пример такого же толкования скорби, снова обратившись к фрактальной геометрии. Все двадцать лет, что я вел этот курс в Йельском университете, моя первая лекция неизменно была посвящена обзору основного понятия – самоподобия. Еще в первой главе мы сказали, что треугольник Серпинского состоит из трех частей – левой нижней, правой нижней и левой верхней, – как показывает рисунок на следующей странице. Каждая из частей подобна всей фигуре в целом, поэтому она называется самоподобной фигурой. Впоследствии я приведу вам еще массу примеров из мира природы: папоротники, деревья, бассейны рек, береговые линии, горные хребты, облака на Земле, облака на Юпитере, звездные туманности, наши легкие, кровеносная и нервная системы, некоторые стихотворения Уоллеса Стивенса, множество (довольно длинных) музыкальных произведений и так далее и так далее. Тема самоподобия выявляет симметрию – симметрию увеличения, – которая дает ключ к иному пониманию многих форм в природе.

Вторая лекция фокусировала внимание слушателей на нахождении простых правил, по которым генерируются фрактальные изображения. Мы снова начинаем с треугольника Серпинского.

Затем сокращаем его масштаб наполовину и ставим этот уменьшенный треугольник на место левого нижнего треугольника изначальной фигуры. Потом вставляем такой же уменьшенный треугольник на место правого нижнего треугольника нижней фигуры (средний рисунок). И, наконец, снова сокращаем изначальный треугольник наполовину и вставляем на место левого верхнего треугольника (рисунок справа). Применив эти три правила к треугольнику Серпинского, вы получите треугольник Серпинского. На самом деле, треугольник и есть та единственная форма, что осталась неизменной в результате применения данных правил[110]. Если применить их к любой другой фигуре, у вас не получится та же самая фигура. Попробуйте, например, применить эти три правила к рисунку кота (см. ниже). После первой итерации мы получаем трех котов поменьше. Потом девять котов еще меньше. Если так продолжать, то в конце концов вся эта стая котов превратится в треугольник Серпинского.

И сколько бы раз вы ни повторяли ту же операцию, картинка всё так же будет состоять из множества крохотных котов. Фигурой, возникающей в итоге, всегда будет треугольник Серпинского. Однако сам треугольник будет задан именно последовательностью из нарисованных котов.

Когда я показывал на экране проектора эти рисунки один за другим, все студенты смотрели с изумлением, многие даже открыв рот. Я слышал ахи и даже грубые возгласы. Как это происходит? Им хотелось узнать. Затем мы вводили более общие преобразования, комбинировали поворот и отражение со смещением и масштабированием. Когда вы уже набили руку, то запросто находите правила для построения и более сложных фракталов, вроде того, который показан на следующей странице. Тем не менее каждый год с десяток студентов говорили мне, что умение находить правила мешало им получать удовольствие от самих фигур. Стоило научиться раскладывать фракталы на составляющие, и фигуры отчасти утрачивали свою красоту.

Необратимость здесь налицо, но можно ли назвать это скорбью? Мои студенты точно бы так не сказали. Если они и описывали свои чувства, то обычно говорили, что им грустно; некоторые заявляли, что испытывают досаду от того, что прежнее ощущение тайны сменилось стремлением найти отражения, повороты и смещения. Эти прекрасные фракталы превратились в геометрические задачки. Скорбь тут ни при чем.

Для скорби нужна не просто необратимость. Скорбь – это необратимость вкупе с эмоциональным переживанием утраты и трансцендентностью. Если утрата не имеет для вас огромного значения, вы не почувствуете никакой скорби. Немногие из моих студентов (если таковые вообще есть) считают геометрию одной из важнейших сторон своей жизни.

Но для меня она именно такова. Каждый раз, когда я узнаю еще один небольшой кусочек геометрии, каждый раз, когда в пространстве моего восприятия открывается новая дверь, остальные двери тут же закрываются. Постепенно я осознал, что каждая из этих закрытых дверей навсегда отрезает меня от целого мира возможностей; я не могу взглянуть на новую задачу взглядом, не замутненным уже имеющимися у меня знаниями. Мой взгляд не может быть иным: каждый шаг в познании геометрии, конечно, позволяет мне увидеть связи, которые иначе я никогда не увидел бы, однако он же не позволяет мне увидеть те связи, которые я бы увидел, не имея этого знания. И я действительно скорблю об утрате этих возможных миров. Конечно, не так, как я скорбел об утрате родных или о моих умерших котах, и всё же чувство утраты меня гложет, оно свербит, и утрата эта необратима.

Если вы не помешаны геометрии, как я, вам подобные доводы могут показаться смехотворными. И для вас они именно таковы. Но моя цель – помочь вам найти нечто подобное в своей жизни. Размышление о потенциальной потере, о потенциальной скорби может помочь вам лучше понять, как разобраться с реальной скорбью в реальной ситуации. Приведу пример.

Многие годы я заканчивал свой курс фрактальной геометрии рассказом о Генри Гурвице. В начале 1990-х я преподавал в Юнион-колледже в Скенектади, штат Нью-Йорк. Там я разработал лекции по математике во фрактальной геометрии и в теории хаотических динамических систем для студентов младших и средних курсов. Дэйв Пик с физического факультета придумал похожий цикл лекций, но с меньшим упором на математику, чтобы познакомить студентов-гуманитариев с квантитативным мышлением. Его курс мы обдумали и разработали вместе. Позднее, когда мы оба покинули Юнион-колледж, я перенес свои лекции в Йельский университет, а Дэйв – в Университет штата Юта. Мы развивали свои курсы независимо друг от друга, но корни у них были общие. Годы, когда мы с Дэйвом работали вместе, были одними из самых счастливых в моей жизни. Интересно, как бы сложилась жизнь, если бы мы остались в Юнион-колледже и еще лет двадцать проработали вместе. Я скорблю об этой потере. Очень.

Разумеется, самым известным преподавателем в Юнион-колледже был Ральф Алфер. Ученик Георгия Гамова, Ральф провел несколько оригинальных вычислений, превративших модель Большого взрыва из завораживающей картинки в основательную космологическую теорию с проверяемыми расчетами. Ральф сначала работал в исследовательской лаборатории «Дженерал Электрик» в Скенектади и в конце концов стал преподавать в Юнион-колледже.

Генри Гурвиц был физиком-ядерщиком в «Дженерал Электрик», где и познакомился с Ральфом. Уйдя на пенсию, Генри понял, что ядерная физика – это не хобби, которым можно продолжать заниматься дома, поэтому он купил персональный компьютер IBM и начал подыскивать задачи, требующие решения. В предустановленном пакете была программа, которая генерирует изображение множества Мандельброта, показанного на следующей странице[111]. А не взяться ли ему за