Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

порту, Рамануджан отправил Харди свои работы и просил в сопроводительном письме опубликовать их, поскольку сам слишком беден для этого. Харди сразу же осознал гениальность индийца и начал с ним переписываться. В следующем году Рамануджан отправился в Англию и стал сотрудничать с Харди. Он прожил там пять лет.

К концу своего пребывания в Англии на Рамануджана обрушились туберкулез и авитаминоз. Решив навестить индийца в больнице, Харди пожаловался, что приехал на такси с номером 1729. Тот показался ему каким-то скучным, и Харди беспокоился, что это плохой знак. Однако Рамануджан ответил: «Нет, это очень интересное число: наименьшее, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами». Действительно,

1729 = 13 + 123 = 93 + 103.

Эта история не просто дает представление о замечательном уме Рамануджана. Добавьте к этому немного физики XXI века — и мы также увидим фундаментальную структуру физического мира.

Все начинается с Пифагора и его прямоугольных треугольников. Если стороны такого треугольника имеют длину a, b и c, то все мы знаем, что они удовлетворяют уравнению

a2 + b2 = c2.

Целочисленные решения этого уравнения найти несложно. Например, a = 3, b = 4, c = 5, или a = 5, b = 12, c = 13. Но что произойдет, если мы увеличим показатель степени и получим уравнения типа a3 + b3 = c3, или a4 + b4 = c4, или с более высокими степенями? Найдем ли мы по-прежнему целочисленные решения? В 1637 году французский математик Пьер де Ферма уверенно заявил, что ответ отрицательный. На полях экземпляра «Арифметики» Диофанта он написал:

«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, превосходящую квадрат, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Это утверждение, конечно, верно. Однако, как известно, его не могли доказать до середины 1990-х, когда в этом преуспел английский математик Эндрю Уайлс. Почти восемьдесят лет назад Рамануджан занялся опровержением этого утверждения и наткнулся при этом на номер такси Харди — 1729. Идея Рамануджана состояла в том, чтобы найти контрпример к утверждению Ферма. Сегодня мы знаем, что это невозможно, и это объясняет, почему ему пришлось столкнуться с целым семейством случаев, когда равенство почти достигалось. Как видите, 93 + 103 дает 1729, что почти совпадает с 123, разница — всего 1. Он также заметил, что 11 1613 + 11 4683 всего на единицу больше, чем 14 2583, и что 65 6013 + 67 4023 на единицу больше, чем 83 8023. Фактически он нашел бесконечное количество подобных примеров, когда всего лишь единица не дает добиться нужного равенства.

Однако эта история не заканчивается неудачной атакой на последнюю теорему Ферма. Так уж случилось, что метод Рамануджана дал ему решения некоторых уравнений, содержащих кубические степени и рациональные числа. Математик Кен Оно был одним из тех, кто обнаружил эту работу в знаменитой забытой записной книжке Рамануджана, которая более полувека хранилась в библиотеке Рена в Тринити-колледже в Кембридже. Когда Оно и его аспирантка Сара Требат-Ледер начали изучать эти уравнения более внимательно, то поняли, что Рамануджан занимался особым семейством геометрических структур, известных как K3-поверхности. Интерес к этим странным и чудесным многомерным структурам взлетел спустя много лет после смерти Рамануджана — в конце 1950-х, когда его работа еще оставалась неизвестной. Название K3 дано в честь трех других математиков — Куммера, Келера и Кодайры, — которые работали над близкими темами, а также в честь смертоносной горы К2 в Гималаях. Альпинист Джордж Белл однажды назвал К2 «дикой горой, которая пытается убить вас». K3-поверхности могут быть такими же враждебными — по крайней мере, в глазах тех математиков, которые достаточно смелы, чтобы их изучать.

Но какое отношение все это имеет к физическому миру?

Оказывается, есть очень веская причина браться за эту дикую область математики: K3-поверхности являются прототипом поверхностей Калаби — Яу, о которых мы упоминали ранее (крошечных экзотических форм, которые большинство специалистов по теории струн используют для того, чтобы скрыть наши дополнительные измерения). Это формы, управляющие физикой нашего макроскопического мира. Харди жаловался, что число 1729 — скучное, но он очень сильно ошибался. Оно тесно связано с дополнительными измерениями, которые безмолвно прячутся рядом с каждым из нас, определяют, почему Вселенная такова, какова она есть, а мы такие, какие мы есть.

Нет, 1729 — не скучное число. Оно чертовски замечательное. Как и любое другое число.

Благодарности

64. Это еще одно фантастическое число. На самом деле это двенадцатиугольное число, оно устроено примерно так же, как треугольное или квадратное, просто в основе лежит двенадцатиугольник[174]. Это также количество людей, которых я поблагодарю за помощь в создании этой книги. Конечно, в реальности число 64 не учитывает всех людей, которые мне реально помогли. Это, безусловно, заниженная оценка, и очень сильно, — как оценка, предложенная Фридманом для TREE(3).

Начну с Хендо.

Моего друга.

Несколько лет назад он рассказал мне, что серьезно болен раком. Я и многие другие не захотели мириться с этим. Мы были готовы обеспечить Хендо все необходимое для выздоровления и начали собирать деньги. Я стал выступать с публичными лекциями о фантастических числах перед аудиторией по всей стране, обращаясь к слушателям с просьбой о пожертвованиях. В результате я собрал несколько тысяч фунтов. Совместно с друзьями и семьей мы набрали около 200 000 фунтов, но этого оказалось недостаточно. Мы не смогли спасти Хендо. Он ушел, и нам его крайне не хватает.

Но что-то хорошее из этих публичных выступлений получилось. Я понял, что они могут стать зерном книги. Этой книги. Книги, которую удалось завершить только благодаря поддержке всех моих друзей и семьи. Начну с самых маленьких: это две мои любимые дочки, Джесс и Белла, всегда дерзкие, всегда называющие меня Гилдероем, когда я зазнаюсь. Честно говоря, моя жена Рената их поощряет. Она также вдохновляет меня. Она первой читала каждое написанное мной слово, всегда давая честные и проницательные отзывы. Я не знаю, как ей это удавалось, потому что она не особо интересуется наукой — она предпочитает шоу «Лучший пекарь Британии». Но каким-то образом она следила за тем, чтобы я ничего не отправлял издателям в непропеченном виде. Так что спасибо, Рената, за все.

Спасибо также моим родителям, которые всегда рядом и всегда верят в меня, брату Рамону и сестре Сьюзи. Спасибо родственникам, Кэти, Грэму, Бобу, Венди, Остину и Майку, моему старому другу Нилу и, конечно,