Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

отпечаток левой ступни совпадает с отпечатком правой, если его немного сдвинуть вперед, а потом перевернуть.

85

Изучите главу 3 в книге: Conway J. H., Burgiel H., Goodman-Strauss C. The Symmetries of Things. A. K. Peters / CRC Press, 2008.

86

Не идеально строгое утверждение. Любому комплексному числу соответствует точка на плоскости, и аргумент ненулевого комплексного числа — это угол между положительной полуосью и радиус-вектором такой точки. Для нуля аргумент просто не определен, так что аргумент у него не изменить. Прим. пер.

87

Боэций. Утешение философией. Кн. III / пер. В. И. Уколовой и М. Н. Цейтлина. Прим. пер.

88

Во-первых, у майя это не дата творения, а просто дата начала нынешнего календарного цикла. Во-вторых, существуют и другие гипотезы о юлианской дате, соответствующей началу цикла майя. Прим. пер.

89

1, 2 и 100 записывались соответственно как ᾱ,

и ; число 101 выглядело как , а 102 — как . Черта сверху ставилась для того, чтобы отличать числа от слов.

90

Сейфе Ч. Ноль: биография опасной идеи. М.: АСТ, 2014.

91

Черепаха появилась в этой истории значительно позже. Мы знаем идеи Зенона по изложению Аристотеля, а тот в описании этого парадокса использовал двух бегунов — быстрого и медленного. Прим. пер.

92

На самом деле все наши знания об этом эпизоде опираются на следующий отрывок из труда Диогена Лаэртского. «Мало того, он задумывал низвергнуть тирана Неарха (а иные говорят, Диомедонта) и был схвачен, как о том рассказывает Гераклид в “Сокращении” по Сатиру; но, когда его допрашивали о сообщниках и об оружии, которое он вез в Липару, он в ответ оговорил всех друзей тирана, чтобы тот остался одинок, а потом, попросившись сказать ему на ухо кое о ком, вцепился в ухо зубами и не отпускал, пока его не закололи; так подвергся он той же участи, что и тираноубийца Аристогитон. Деметрий в “Соименниках” говорит, будто он откусил тирану нос, а Антисфен в “Преемствах” — будто после того, как он оговорил друзей тирана, тот его спросил, не было ли кого-нибудь еще, а он ответил: “Только ты, пагуба нашего города!” — а потом обратился к окружающим: “Дивлюсь я вашей трусости: чтобы не пострадать, как я, вы ползаете перед тираном!” — и наконец отгрыз себе язык и выплюнул его тирану в лицо; и граждан это так взволновало, что они тут же насмерть побили тирана каменьями» (Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречения знаменитых философов / пер. М. Л. Гаспарова). Прим. пер.

93

Это можно доказать так. Пусть x = 1,111…, то есть после запятой идет бесконечная последовательность единиц. Умножим обе части равенства на 10 и получим 10x = 11,111…, где справа снова бесконечное количество единиц. Вычтем первое равенство из второго: 10x — x = 11,111… — 1,111… Поскольку единицы после запятой исчезают, получаем 9x = 10, откуда x = 10/9 = 1 + 1/9.

94

При такой неопределенности в датировании рукописи Бакхшали самый ранний ноль, возможно, следует искать в Камбодже. Его можно увидеть в виде точки на древней кхмерской надписи, вырезанной на каменной табличке, которая датируется 683 годом нашей эры. Эта дата считается достоверной. Кхмеры имели тесные культурные связи с Индийским субконтинентом, поэтому данный конкретный ноль сохраняет связь с индийской математикой. Старинную табличку первоначально обнаружили в конце XIX века, однако она надолго пропала после кровавого правления красных кхмеров. Повторно ее открыли в 2013 году, когда математик и писатель Амир Дан Аксель обнаружил, что она пылится в одном из камбоджийских комплексов.

95

Аль-Андалус — территория Пиренейского полуострова, находившаяся под властью мусульман, «мусульманская Испания». Прим. пер.

96

Так Фибоначчи передавал латиницей арабское «сифр». От zephirum произошло слово zero — название нуля в различных европейских языках. Прим. пер.

97

Хотя в русских переводах этой знаменитой фразы чаще используют слово «цифры», оригинальный текст на латыни содержит слово figura («форма, фигура»): «Nouem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus». Прим. пер.

98

Равенство активов и пассивов (уравнение баланса) вытекает из принципа двойной записи. Каждое перемещение средств фиксируется дважды: в дебете одного счета и в кредите другого. В результате увеличение дебета (или кредита) одного счета равно уменьшению кредита (или дебета) на другом. Прим. пер.

99

В отечественной традиции ноль не принято включать в множество натуральных чисел. Прим. пер.

100

Строго говоря, в своем письме 1902 года Рассел указал на проблему в более ранней работе Фреге «Исчисление понятий», опубликованной еще в 1879 году. Впрочем, немецкий математик на нее в любом случае опирался, поэтому вынужденно сделал приложение ко второму тому «Оснований арифметики» с анализом этого парадокса, где, в частности, отмечал: «Вряд ли с ученым может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена». Прим. пер.

101

На самом деле ситуации очень разные. Знаменитый парадокс брадобрея решается очень просто: такого парикмахера не может существовать. В этом нет ничего удивительного, поскольку мы некорректно указали свойство, определяющее множество искомых клиентов. Если мы предположим, что Джузеппе бреет только брюнетов, одновременно являющихся блондинами, то некорректность свойства, определяющего круг клиентов, заметна лучше. В случае с расселовским множеством (множеством всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента) ситуация несколько сложнее, и сам Рассел в книге «Философия логического атомизма» объяснял, что эти парадоксы не эквивалентны. Прим. пер.

102

На что последовал знаменитый ответ Гильберта, что университет — не баня. Прим. пер.

103

В 1919